2009년 9월 6일 일요일

팀 프로젝트

<주제: 서울 지역 전세값 폭등 문제에 대한 정책 제안>

최근 서울 지역 아파트의 투기 열풍과 전세값 폭등이 사회적으로 심각한 문제로 대두되고 있다. 여러분은 지금 이 문제 때문에 대통령에게 자문을 하고자 구성된 대통령실의 특별 태스크 포스(task force) 팀원들이다. 다음과 같은 점들을 고려하여 정책 보고서를 작성해 보라.

- 투기란 무엇인가?
- 투기가 발생하는 원인은 무엇인가?
- 주택 가격은 어떻게 결정되는가?
- 전세값은 어떻게 결정되는가?
- 서울 지역 주택 수요와 전세 수요의 결정 요인들은 무엇인가?
- 서울 지역 주택 공급과 전세 공급의 결정 요인들은 무엇인가?
- 서울 지역 주택 투기 문제와 전세값 안정화를 위한 정책적 제안은?
- 위의 정책적 제안에 대한 한계점 및 예상되는 문제점들은?

중요 개념: 수요, 공급, 가격 결정, 균형 가격, 시장 기구, 최고 가격, 최저 가격, 효율성, 불확실성, 소비자 잉여, 생산자 잉여, 사회적 후생, 투기, 가격 통제, 암시장

<과제 수행 방법>

- 팀의 구성: 한 팀당 4-6명
- 기간: 6주
- 프로젝트 수행을 위해 온라인 회의실을 회의실 및 토론실로 적절히 활용한다.
- 팀장은 과제에 대한 총괄적 책임자이며, 모든 회의/토론을 주제한다.
- 팀장은 매번 회의에서 논의/결정된 사항의 결과를 회의실에 공개해야 한다.
- 과제 수행 결과는 중간시험 직전 주에 발표회를 갖는다.
- 매 회의의 시간은 1시간을 넘지 않는 것이 좋다. 가능하면 30분 정도.
(그러기 위해서는 팀원들이 회의 참석 전에 준비들을 잘 해야 되갰지요?)

<각 주별 잠정적 모임 계획>

1주: 첫 모임, 팀원끼리 인사, 리더의 선정, 문제의 핵심 파악, 중요 개념 중 "이미 아는 사실"과 "알아야 할 것들" 정하기, 난상 토론, 다음 모임 때까지 해야 할 일들 생각해 오기, 등
2주: 과제를 위해 각자 한 일들과 앞으로 할 일들에 대한 토론, 할 일들의 재정리 및 분담
3주: 각자의 자료 수집 등에 대한 점검 및 토론, 수정/보완 사항 찾기
4주: 수정/보완, 보고서 작성을 위한 회의 및 작업 분담, 보고서 초안 작성
5주: 최종 보고서 작성
6주: 발표

위의 잠정적 할 일 계획은 대충 정헤 본 것이며, 반드시 이에 따를 필요는 없다. 그리고 과제수행의 진행 순서도 모든 팀이 같을 수도 없고 같을 필요도 없다.

2009년 9월 3일 목요일

숙제 a

    숙제 A (중간 고사 직전 마감)
    복 = 복습을 위한 질문; 연 = 연습문제

  • 제2장 - 복: 2, 4, 9; 연: 1
  • 제5장 - 복:3, 5; 연:1, 3, 7
  • 제8장 - 복: 1, 3; 연: 1, 4, 6
    고침: 연습문제 4: C = 200 + q2 ==> C = 200 + 2q2
  • 제10장 - 복: 1, 3, 7; 연: 4, 6
    고침: 연습문제 6: C = 100 + q2 ==> C = 100 + 2q2
  • 제11장 - 복: 1, 4, 7; 연: 5, 7

    주의 사항

  • 문제는 목차 페이지에 있는 연습문제(pdf file로 되어 있음)를 내려받기 하여 사용하세요.
  • 숙제를 열심히 하는 것은 시험공부를 열심히 하는 것과 같습니다.
  • 숙제는 혼자 하는 것보다 몇 사람이 어울려서 같이 하는 것이 더 좋습니다.
  • 제출 마감은 중간고사 시험 시작 직전까지 입니다.
  • 반드시 자필로 써야 합니다. (워드프로세서를 쓴 것은 인정하지 않습니다.)

2009년 9월 2일 수요일

2009년 8월 19일 수요일

2009년 7월 25일 토요일

문제 - 성법 스님

한 사람이 있습니다. 그는 주차시설이나 공공장소 또는 길거리에 설치되어 있는 CCTV가 사생활을 침범하고 악용의 소지가 많다는 이유로 CCTV를 설치하는 것에 대해 공개적으로 적극적인 반대 운동을 해 오던 사람입니다.

그러던 그가 어느 날 밤길에 강도를 만났습니다. 그래서 몸을 심하게 다치고 현금 손실로도 많은 피해를 입었습니다. 경찰에 신고하니, 마침 그곳에는 CCTV가 설치된 곳이라 녹화된 화면을 통해 범인을 잡았습니다.

이 사람은 이제 CCTV 찬성론자가 되었습니다. 예전에는 다른 사람들이 이런 경우를 당하고 CCTV의 도움을 받았을 때도 사생활 보호가 우선이라고 줄기차게 주장을 해 왔었습니다. 그러나 자기가 그 상황을 겪자 생각이 180 도로 바뀐 것입니다.

이 경우 이 사람을 지조가 없거나 너무 자기 중심적인 사람이라고 말할 수 있을까요? 아니면 자기가 경험하고 난 이후에 CCTV 찬성론자가 되는 것이 더 자연스럽고 정상적인 것일까요?

질문의 요점: 자기가 겪고 난 후에도 CCTV 설치 반대론자로 남아있는 것과 CCTV 설치 찬성론자로 바뀌는 것 중 어느 쪽이 더 자연스럽거나 바람직하다고 생각하는가요? 물론 사람에 따라 견해가 다르고, 어느 쪽이 반드시 "옳다"라고 단정지을 수 있는 문제는 아닙니다. 다만 이런 경우를 가정했을 때 여러분의 선택과 그 선택에 대한 이유를 한 번 피력해 보시기 바랍니다.

2009년 7월 24일 금요일

2009년 7월 22일 수요일

2009년 4월 11일 토요일

copy artists

<a href="http://www.joost.com/3128xep/t/Copy-Artists">Copy Artists</a>

2009년 3월 25일 수요일

for fun...




어떤 수의 0 제곱은 1이라고 배웠다. 그런데, 한편으로 0의 거듭제곱은 언제나 0이라고 한다. 그렇다면 00의 값은 0일까, 아니면 1일까?











윈도에 내장되어 있는 계산기(공학용 보기를 이용)를 이용해서 0의 0제곱을 계산해 보면 1을 출력한다. 인터넷에서 계산기 찾아서 이용해도 같은 결과가 나온다. 그렇다면 00=1일까?


 


한편, 업무용 프로그램인 엑셀(Excel)에 0의 0제곱을 입력하면 오류 메시지가 출력된다. 수학용 프로그램으로 유명한 매스매티카(Mathematica)에서도 00을 “Indeterminate(정할 수 없는, 不定)”로 처리한다.



어떤 프로그램에서는 00을 1로 처리하고, 어떤 프로그램에서는 처리할 수 없다고 하니, 심지어 같은 회사가 만든 프로그램에서도!  참으로 이상한 일이 아닐 수 없다. 전혀 궁금하지 않다는 사람들도 많겠지만, 00을 무엇으로 생각해야 할지는 역사적으로 오랫동안 논쟁 및 고민거리의 하나였다.











“거듭제곱”이란 “거듭하여 자신을 곱한다”는 뜻인데, 세 번 거듭 곱하거나, 스무 번 거듭 곱하는 것은 누구나(?) 무슨 뜻인지 안다. a가 수일 때 a를 n개 곱한 것을 an으로 나타내는데, 지수 n이 자연수일 때는 그 뜻이 분명하다. 따라서 이 표기법에 따르면 지수 n이 자연수인 한 당연히 0n=0이다. 그렇다면 지수가 0이나 음수인 경우는 어떻게 될까? a를 0개 곱하거나 -3개 곱하거나 할 수는 없으므로 곧이곧대로는 정의할 수 없다. 따라서 ‘음수끼리 곱하면 양수’라는 설명을 했을 때와 마찬가지로, 어떻게 정의하는 것이 합리적인지 생각해 볼 필요가 있다. 그 열쇠를 쥔 것은 m과 n이 자연수일 때 성립하는 다음 등식, 즉 ‘지수 법칙’이다.
&


이 지수법칙이 음의 지수에 대해서도 성립하도록 a-3같은 것을 정의하려면, 다음과 같은 등식이 성립하는 것이 좋을 것이다.  



양변을 a5으로 나눠주면, a-3은 a2÷a5 임을 알 수 있다. 이 때 문제가 하나 있는데 양변을 a5으로 나누려면 이 수가 0이 아니어야 한다.


만약 a=0이라면 이런 논법이 통하지 않는다. a가 0이 아닐 때는 다음과 같다.


 




이렇게 음수와 0에 대해서도 지수를 정의해 주면 (밑이 0일 때는 제외하고) 고맙게도 지수법칙 am×an=am+n이 여전히 성립한다. 예를 들어, a-3×a-4=a-7임을 확인할 수 있다. 거듭제곱과 지수의 관계에 대한 이상의 설명에서 알 수 있듯, 자연수 n에 대하여 0n=0이고, 0이 아닌 수 a에 대하여 a0=1이지만, 밑과 지수가 모두 0인 00에 대해서는 아무런 정보도 주지 않는다. 그렇다면 00은 어떻게 정의하는 것이 합리적일까? 과연 합리적인 정의라는 게 가능하기는 한 걸까?

  











특히 다항식과 관련한 경우, 00을 1로 두면 수식이 간단해지는 경우가 많다. 예를 들어 다음과 같은 다항식을 생각해 보자.


 


여기에서 x3은 3차항, -5x2은 2차항이다. 7x는 1차항인데, 7x1이라 쓰면 차수를 알 수 있게 해 주므로 일관성이 있다. 남아 있는 상수항 2는 0차항으로 생각하는 것이 합리적이므로 2x0이라 쓰는 것이 편리할 것이다. 따라서 차수를 고려해서 다항식을 표현하면, 아래와 같이 쓸 수 있다.  


 


원래 다항식에 x=0을 대입하면 당연히 값이 2인데, 차수를 밝혀준 식에 대입할 경우 00= 1이어야 양변이 일치한다! 따라서 00= 1이라고 보는 것이 합리적이다.




















이처럼 극한 이론이 발전하면서 00=1로 간주하자는 주장이 크게 공감을 얻었다. 물론 모두가 그런 것은 아니어서, 예를 들어 프랑스의 위대한 수학자로 극한 이론을 엄밀하게 정립한 코시(Augustin Cauchy, 1789-1857)는 1821년에 쓴 저서에서 여전히 00은 정의할 수 없는 것으로 분류하였다.











1830년대에 이탈리아의 수학자 리브리(Gulielmo Libri, 1803-1869)는 00=1을 증명하는 논문을 썼는데 내용이 다소 명확하지 못하여, S라는 서명으로만 알려진 익명의 수학자의 비판을 받았다. 우리에게 “뫼비우스의 띠”로 유명한 독일의 수학자 뫼비우스(F. Möbius, 1790-1868)는 얼마 후 리브리의 주장을 옹호하는 논문을 한 편 발표하였는데, 그의 주장은 다음과 같다. 


 












가끔 a0=1에 대하여 “거듭제곱은 1에 어떤 수를 곱하는 과정이다. 그런데 지수가 0이면 아무것도 곱하지 않았다는 뜻이므로 그 값은 1이 될 수밖에 없다”는 식으로 설명하는 사람을 볼 수 있다. 이것이 거듭제곱을 이해하는 한 가지 방편일 수는 있겠으나, 엄밀히 말하면 앞뒤가 바뀐 설명이다. 거듭제곱을 이런 식으로 생각하는 것은 “a0=1이므로 an은 (지수 법칙에 따라) 1에 a를 n번 곱하는 것이다”와 같은 말이다. 즉, a0=1을 가정한 상태에서 하는 설명이므로, 이로부터a0=1이 된다고 말하는 셈이다. 따라서 이런 설명을 이용해서 00= 1이라고 주장하는 것은 옳지 않다.











수식도 많고, 글도 길어져서 필자도 미안하게 생각한다. 읽기 힘든 분을 위하여 마무리를 겸하여 내용을 요약하면 다음과 같다.


1. 00은 정의하지 않는다. (값을 아직도 모른다는 말이 아니다.)
2. 그렇지만 ‘주의하여 사용한다면’ 편의상 00= 1로 정의할 수 있다.
3. 위대한 수학자도 실수할 때가 있다.


글/ 박부성 (경남대학교 수학교육과 교수)

2009년 2월 24일 화요일

2009년 2월 8일 일요일

2009년 1월 19일 월요일

Spiritual Econ


"Spiritual Economics" - lecture given by Devamrita Swami, to 150 professors, MBA students, and government officials at the main auditorium of the Rotman School of Business and Management, the University of Toronto, May 29, 2007. The Rotman School has set out to redesign business education for the 21st century and become one of the world's top-tier business schools. Located in the heart of Toronto -- North America's third-largest financial centre and one of the world's most culturally-diverse cities -- the School is developing an innovative curriculum built around Integrative ThinkingTM and Business DesignTM. These are just some of the reasons why Bruce Nussbaum recently wrote in BusinessWeek Online, "Managers who want to 'get' the new innovation paradigm should check out [Rotman's] MBA and exec-ed programs"; Simon London wrote in the Financial Times, "A handful of enlightened business school deans – such as Robert Joss at Stanford, Dipak Jain at Kellogg and Roger Martin at the Rotman School – are starting to preach the gospel of integrated thinking, cross-disciplinary studies and learning-by-doing”; and The Wall Street Journal called the Rotman School a "hidden gem." The Rotman vision for 21st-century business education is built around Integrative Thinking. The current model of business education -- which divides business into a number of functional areas -- has changed little since its introduction in the early 20th century. Although this model provided global leadership for nearly a century, its inherent flaws are becoming increasingly problematic as the modern economy takes shape. One of the weaknesses of the traditional approach is that business problems rarely lie within the boundaries of individual functional areas, and cannot be resolved using the narrow models developed within functional boundaries. Today's business problems sprawl messily across the functions -- and across models -- creating a need for managers who can attend simultaneously to a vast array of interconnected variables and deal effectively with enigmatic choices. In short, modern leadership necessitates Integrative Thinking. That's why our curriculum is constantly evolving, with the introduction of new courses, content, and approaches. In short, the Rotman School is developing a new way to think. We invite you to be a part of it.

Economics Defined

Four Teaching Styles


The undergraduate lecture at an American university is characterized by a wide range of styles and presentation methods. This video shows four lecture prototypes of this range of styles. The dynamics of classroom management and material presentation are quite different. The four styles are 1) The Formalist, 2) The Buddy, 3) The Disciplinarian, and 4) The Interacter. This video, c. 1987, was produced for the Center for English as a Second Language, The University of Arizona, Tucson, AZ. The Instructor was played by Charles Sabatelle and the narrator was Gary Johnston.